Intersection of N rectangles（N个矩形的交集）是一个计算几何的问题，主要用于计算N个矩形的交集部分。下面给出了解决这个问题的观察结果以及解决方法。

首先，观察结果1指出，给定一个多边形A和一个矩形B，可以通过与B的每条边相对应的半平面的4个交点来计算A∩B的交集。

其次，观察结果2指出，从一个凸多边形中切割一个半平面将得到一个凸多边形。第一个矩形是一个凸多边形。这个操作最多增加1个顶点。

最后，观察结果3指出，凸多边形的顶点到一条直线的有向距离是一个单峰函数。

基于以上观察结果，可以给出解决这个问题的算法的草图：

1. 使用平衡二叉树以逆时针的顺序维护当前部分交集D。

2. 当切割由一条直线L定义的半平面时，找到D中与L相交的两条边。通过一些巧妙的二分或三分搜索，利用到L的有向距离的单峰性质，可以在对数时间内完成此步骤。（这部分我记不太清楚。）

3. 从D中删除L的一侧的所有顶点，并将交点插入到D中。

4. 对所有矩形的边L重复执行步骤2和步骤3。

5. 完成后，D中即为N个矩形的交集。

这个算法可以高效地计算出N个矩形的交集，并且在每个步骤中的时间复杂度都可以保持在对数级别。

Intersection of N rectangles是一个关于矩形相交问题的应用。Klee's measure是一个算法问题，关于矩形相交的最佳算法的运行时间下界为O(n log n)。Klee's measure问题是对矩形相交问题的泛化，可以完美地解决这个问题，展示了一个最优算法。有人认为Klee's measure是关于矩形的并集，而不是交集。但是，如何将关于交集的问题转化为关于并集的问题还不清楚。也许可以通过某种方式取补集来将关于交集的问题转化为关于并集的问题。

【Intersection of N rectangles】问题的出现原因：在处理多个矩形的交集问题时，需要找到这些矩形的交集部分。解决方法可以采用排序算法或使用R树数据结构进行搜索。

【解决方法1：排序算法】

算法步骤如下：

- 根据矩形的最小X值进行排序（使用low_x()函数）。时间复杂度为O(n log n)。

- 针对排序后的每个矩形，找到其最大X值。时间复杂度为O(1)。

- 将最大X值与所有最小X值小于该值的矩形进行比较。时间复杂度为O(log n)。

【复杂度分析】

这种方法在矩形均匀分布的情况下，时间复杂度为O(n log n)。最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)，例如矩形不重叠但彼此相邻的情况。在这种情况下，可以通过扩展算法，考虑矩形的最小Y值和最大Y值，从而将时间复杂度保持在O(n log n)。

【解决方法2：R树数据结构】

R树是一种用于存储地理空间数据的数据结构，可以在解决这个问题时非常有用。只需将矩形存储在R树中，即可以O(n log n)的时间复杂度找到交集（n次搜索，每次搜索的时间复杂度为log n）。

【其他讨论】

- 有人提出了一个反例，指出最后一步不是O(log n)。但可以通过根据Y值对矩形进行排序来保持时间复杂度为O(n log n)。

- 还有人提出了另一个反例，认为不论如何排序或使用R树，时间复杂度仍然是O(n^2)。

- 有人指出，每个矩形的方向是任意的，不一定是与X轴和Y轴平行的。因此，解决方案应该适用于任意方向的矩形。

- 也有人提出了简单的解决方法，即逐个对矩形进行切片，计算它们的交集。这种方法不需要使用复杂的数据结构，可以解决轴对齐矩形的交集问题。

对于【Intersection of N rectangles】问题，可以采用排序算法或使用R树数据结构进行解决。排序算法的时间复杂度为O(n log n)，在均匀分布的情况下效果较好。而R树数据结构在解决这个问题时具有较好的效率（时间复杂度为O(n log n)）。另外，也可以采用简单的方法，对轴对齐的矩形进行切片计算交集。