如何仅使用位移和加法进行乘法和除法运算？
要使用位移和加法进行乘法和除法运算，可以通过将其中一个数表示成二的幂的形式来进行乘法。如下所示：
21 * 5 = 10101_2 * 101_2 (初始步骤)
= 10101_2 * (1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0)
= 10101_2 * 2^2 + 10101_2 * 2^0
= 10101_2 << 2 + 10101_2 << 0 (分解)
= 10101_2 * 4 + 10101_2 * 1
= 10101_2 * 5
= 21 * 5 (与初始表达式相同)
如上所示，乘法可以通过加法和位移的分解和合并来实现。这也是为什么乘法比位移和加法花费更多时间的原因，它的时间复杂度为O(n^2)，而不是O(n)。实际的计算机系统（与理论计算机系统相反）只有有限数量的位数，所以乘法所需的时间是加法和位移的固定倍数。如果我没记错的话，现代处理器在正确地进行流水线处理的情况下，可以通过调整处理器中的算术单元（ALU）的利用率，与加法的速度几乎一样快地进行乘法运算。
我知道这是一段时间前的问题了，但你能给出一个除法的例子吗？谢谢。
我同意，这个回答可能需要一些改进，因为它虽然对乘法给出了一个很好的答案，但没有完全回答问题，没有提到除法的方法。
如何只使用位移和加法进行乘法和除法？
这个问题的出现是因为有人想要实现乘法和除法的功能，但是只能使用位移和加法这两种操作。下面是解决这个问题的方法。
首先，我们可以使用位移操作来实现除法。具体来说，我们可以将除数的倒数以二进制形式表示出来，然后通过位移操作来计算商。
例如，对于除数为3的情况，我们可以表示为：0.0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 .....
因此，对于一个数a除以3，我们可以这样计算商：(a >> 2) + (a >> 4) + (a >> 6) + ... + (a >> 30)（针对32位运算）。
为了减少计算过程中的操作次数，我们可以将上述项合并：b = (a >> 2) + (a >> 4)，b += (b >> 4)，b += (b >> 8)，b += (b >> 16)。
除了上述方法，还有其他一些更有趣的方式来计算除法和取余操作。
如果问题的提出者指的是任意数字的乘法和除法，而不仅仅是常数除法，那么这个问题可能会有帮助：https://stackoverflow.com/a/12699549/1182653
通过利用模运算和蒙哥马利约简，可以实现整数常数的快速除法：What's the fastest way to divide an integer by 3?
感谢提供《Hacker's Delight》的参考！
额，是的，这个答案（常数除法）只是部分正确的。如果你尝试做 '3/3' 的除法，你会得到0。在《Hacker's Delight》中，他们实际上解释了这个问题并提出了一个补偿的错误解决方法。在这种情况下，我们可以这样计算：b += r * 11 >> 5，其中 r = a - q * 3。链接：hackersdelight.org/divcMore.pdf 页面2+。
需要澄清的是，这个答案的解决方案并不适用于一般情况下的除法，而是针对一些特殊常数除数的情况，例如除以3、除以5或除以7。答案中给出了一个除以3的示例。如果想了解更多，请查阅《Hacker's Delight》一书。
