在头文件中定义一个变量，只有在没有 present extern 关键字的情况下才有效？

我目前正在学习C语言，但我真的不理解头文件是如何工作的，为了确保我有两个问题。

1）让我们来看一下下面的程序：main.c：

#include 
#include 
#include "functions.h"
int main( void )
{
    printf( "Num = %d\n", number );
    printNumber();
    return 0;
}

functions.c：

#include 
#include 
#include 
#include "functions.h"
void printNumber( void )
{
    printf("Number = %d\n", number );
}

functions.h：

#ifndef FUNCTIONS
#define FUNCTIONS
int number;
extern void printNumber( void );
#endif // FUNCTIONS

在头文件中，没有使用extern关键字，所以似乎没有引用到number，程序输出：

Num = 0
Number = 0

第一个问题是，number是否被初始化（如果number只在头文件中出现，那么number是全局变量或类似的变量吗）？这是合法的代码/程序吗？

第二种情况，让我们来看一下下面的代码：main.c：

#include 
#include 
#include "functions.h"
int main( void )
{
    printf( "Num = %d\n", number );
    printNumber();
    return 0;
}

functions.c：

#include 
#include 
#include 
#include "functions.h"
void printNumber( void )
{
    printf("Number = %d\n", number );
}

functions.h：

#ifndef FUNCTIONS
#define FUNCTIONS
extern int number;
extern void printNumber( void );
#endif // FUNCTIONS

这里程序将无法编译，因为会出现“undefined reference to number”的错误。

这迫使我在main中声明number：

#include 
#include 
#include "functions.h"
int number;
int main( void )
{
    printf( "Num = %d\n", number );
    printNumber();
    return 0;
}

这是正确的方式，为什么呢？

最后，为什么对于void printNumber( void )也不适用extern关键字呢？我看到无论有没有extern关键字，它都能正常工作。